线性空间与线性变换

学习定位

前面学的向量及其线性运算、矩阵、线性方程组主要在具体坐标里计算；线性空间与线性变换则把这些计算抽象成“空间、基、坐标、映射”。

一、线性空间

设 $V$ 是一个集合，里面的元素称为向量。如果 $V$ 上定义了向量加法与数乘，并满足封闭性、交换律、结合律、零向量、负向量、分配律等公理，则称 $V$ 是一个线性空间。

常见例子：

• ${\mathbb{R}}^n$：最熟悉的向量空间。
• $P_n$：次数不超过 $n$ 的多项式空间。
• $M_{m\times n}$：所有 $m\times n$ 矩阵构成的空间。
• 齐次方程组 $Ax=0$ 的解集：参见线性方程组解的结构。

非齐次方程组 $Ax=b$ 的解集一般不是线性空间，因为它通常不含零向量，也不对加法封闭。

二、子空间

若 $W\subseteq V$，且 $W$ 对加法与数乘封闭，则 $W$ 是 $V$ 的子空间。

判断子空间的常用步骤：

1. 零向量是否属于 $W$。
2. 任取 $u,v\in W$，是否有 $u+v\in W$。
3. 任取数 $k$ 与 $u\in W$，是否有 $ku\in W$。

三、线性组合、张成与基

若

$$\alpha =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s$$

则称 $\alpha$ 可由向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 线性表示。

• 向量组所有线性组合构成的集合称为张成空间，记作 $\mathrm{span}\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\}$。
• 若一组向量线性无关，并且能张成整个空间，则称为该空间的一组基。
• 基中向量个数称为维数。

参见：

• 向量(组)间的线性关系
• 向量组的秩
• R的n次方的标准正交基

四、坐标

设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 的一组基，对任意 $\alpha \in V$，若

$$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$$

则 $(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ 称为 $\alpha$ 在这组基下的坐标。

直觉

同一个向量本身没有变，变的是描述它的“尺子”。换基就是换一套尺子，坐标会变。

五、线性变换

映射 $T:V\to W$ 若满足

$$T(\alpha +\beta )=T(\alpha )+T(\beta ),T(k\alpha )=kT(\alpha )$$

则称 $T$ 为线性变换。

常见例子：

• 平面旋转、伸缩、投影、反射。
• 求导算子 $D(f)=f^{\prime }$。
• 矩阵左乘 $T(x)=Ax$。

六、线性变换的矩阵表示

若 $V$ 的基为 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$，$W$ 的基为 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_m$，只要知道每个基向量的像：

$$T({\alpha }_j)=a_{1j}{\beta }_1+a_{2j}{\beta }_2+\cdots +a_{mj}{\beta }_m$$

就可以得到变换矩阵

$$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$$

矩阵的第 $j$ 列，就是第 $j$ 个基向量经过变换后的坐标。

这也是理解矩阵与线性变换的本质的关键：矩阵不是一堆数，而是线性变换在某组基下的记录。

七、核与像

对线性变换 $T:V\to W$：

• 核： $$\ker T=\{\alpha \in V\mid T(\alpha )=0\}$$
• 像： $$\mathrm{Im}T=\{T(\alpha )\mid \alpha \in V\}$$

若 $T(x)=Ax$，则：

• $\ker T$ 对应齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间。
• $\mathrm{Im}T$ 对应矩阵 $A$ 的列空间。
• 秩-零化度关系： $$\dim \ker T+\dim \mathrm{Im}T=\dim V$$ 对矩阵就是 $$\text{自由变量个数}+r(A)=n$$

八、与特征值的连接

若 $T(\alpha )=\lambda \alpha$，且 $\alpha \ne 0$，则 $\alpha$ 是变换 $T$ 的特征向量，$\lambda$ 是特征值。

在矩阵表示下，这就是

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

参见矩阵的特征值和特征向量。

九、应用内化

• 数据降维：选择一组更合适的基，让数据主要集中在少数坐标方向上。
• 坐标变换：同一个几何对象换基后表达更简单，例如二次型化标准形。
• 方程组：求解 $Ax=b$ 本质上是在问 $b$ 是否落在 $A$ 的列空间中。

十、做题检查表

• 问是否为线性空间：查加法、数乘是否封闭，尤其注意零向量。
• 问基与维数：先证明线性无关，再证明能张成。
• 问线性变换矩阵：看基向量的像，把坐标按列排进矩阵。
• 问核与像：核解 $Ax=0$，像看列空间，维数由矩阵的秩确定。