矩阵的特征值和特征向量

1. 定义

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在非零向量 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$ 及数 $\lambda$ 使得

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$

则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值（eigenvalue），$\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量（eigenvector）。

2. 特征多项式与特征方程

将 $A\alpha =\lambda \alpha$ 改写为 $(A-\lambda I)\alpha =0$。由于 $\alpha \ne 0$，系数矩阵行列式必为零：

$$\det (A-\lambda I)=0.$$

该方程称为 $A$ 的特征方程，左端 $f(\lambda )=\det (A-\lambda I)$ 是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，称为 $A$ 的特征多项式。特征方程的根即为 $A$ 的特征值（可能包括复根）。

3. 特征向量的求法

对每个特征值 ${\lambda }_0$，解齐次线性方程组 $(A-{\lambda }_{0}I)x=0$，其非零解向量即为属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

4. 性质

• 迹与行列式

  $$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i,\det (A)=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i.$$

• 不同特征值的特征向量线性无关
  若 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 互异，对应的特征向量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关。

• 实对称矩阵的特征值均为实数，且不同特征值对应的特征向量正交（参见 R的n次方的标准正交基）。

• 相似矩阵：若 $B=P^{-1}AP$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值（不计重数）。

5. 相似矩阵与矩阵可对角化的条件

6. 常见应用

• 递推数列：利用特征方程求通项
• 微分方程组：通过矩阵指数和对角化解线性微分方程组。
• 数据降维：主成分分析（PCA）依赖协方差矩阵的特征值分解。

7. 复习连接

• 前置：行列式、线性方程组解的结构、向量(组)间的线性关系。
• 后续：相似矩阵与矩阵可对角化的条件、正交矩阵、二次型。
• 直觉：特征向量是在变换 $A$ 下方向不变的向量，特征值表示这个方向上的伸缩倍数。
• 做题路径：先求 $\det (A-\lambda I)=0$，再对每个 $\lambda$ 解齐次方程组 $(A-\lambda I)x=0$，最后用特征向量个数判断能否对角化。