矩阵

一、矩阵的概念

定义1.1

设F是由一些数组成的集合，其中包括0和1，如果F中的任意两个数（这两个数也可以相同 ）的和、差、积、商仍然是该数域的数，F为一个数域

定义1.2

m×n个数简称m×n矩阵，m为行数，n为列数，其中的数叫元 分实矩阵和复矩阵

特殊矩阵

• 零矩阵：元素全为零，记作$O_{m\times n}$
• 对于方阵
• 对角阵：主对角元素不为零，其余全为零
• 数量矩阵：在对角阵情况下主对角元素相同
• 单位矩阵：在数量矩阵情况下主对角元素为1
• 上/下三角矩阵，行标＞/＜列标的数全为零，其余不全为零
• 对称矩阵主对角元素为零，其余元素对称
• 反对称矩阵主对角元素全为零，其余元素对称且相反

二、矩阵的运算

1、矩阵的加减

• 同型矩阵（矩阵相等）的定义： 设矩阵 $$A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{ij}{)}_{s\times r}$$ 若满足 $m=s,n=r$，且 $$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$$ 则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$。
• 矩阵的加法：每个对应位置的元相加，同型矩阵才能相加 符合结合律和交换律
• 矩阵的减法，定义所有元变为相反数为负矩阵 A-B=A+(-B)

2、数与矩阵的乘法

设

$$A=(a_{ij}{)}_{m\times n},k\in F$$

则数 $k$ 与矩阵 $A$ 的乘积定义为

$$kA=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$$

也就是用数 $k$ 乘矩阵 $A$ 的每一个元素所得的新矩阵。 k个A相加 数与矩阵相乘也符合一般乘法运算规律 由此，公因子k也可提到矩阵外面

3、矩阵的乘法

设

$$A=(a_{ij}{)}_{m\times s},B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$$

则矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积矩阵记为

$$C=AB=(c_{ij}{)}_{m\times n}$$

其中

$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$$

对矩阵乘法要特别注意：

• 只有矩阵 $A$ 的列数与矩阵 $B$ 的行数相同时，$AB$ 才有意义。
• 乘积 $C=AB$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。

一般不符合交换律 不满足的条件 阶数不同

数量矩阵乘法满足交换律，特别的，单位矩阵在乘法中有恒等不变性 矩阵乘法与数乘满足下列运算法则：

1. 结合律：$(AB)C=A(BC)$；
2. 左分配律：$A(B+C)=AB+AC$；
3. 右分配律：$(B+C)A=BA+CA$；
4. 数乘相容：$k(AB)=(kA)B=A(kB)$。

注：矩阵间乘法不改变顺序

4、矩阵的方幂

规定$A^0=E$ 矩阵的负数次幂需满足逆矩阵存在 其余与正常幂运算一致 特别的，对角矩阵的幂运算即为主对角元素的幂运算，且结果仍为对角矩阵 做题方法：先递推看是否有规律 注意：

• 由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说 $(AB{)}^k\ne A^k{B}^k（k>1）$ 忌用平方差公式
• 如果$A^k=0（k>1）$ 也不一定A=0 由此推出==消去律不一定满足，即 AB=AC不能推出B=C== 原理：消去的本质是等号两边乘同一个倒数不改变大小 同理AB=0亦不能推出A，B其中一个至少为O

四、矩阵的转置

转置矩阵的定义：

设

$$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$$

把矩阵 $A$ 的行与列互换，得到的 $n\times m$ 矩阵称为 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$。

对称矩阵转置后与原矩阵一致，充要条件 反对称（反称）矩阵转置后所有元是原矩阵所有元的相反数 转置的运算法则：

1. $(A^T{)}^T=A$；
2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$；
3. $(kA{)}^T=k{A}^T$；
4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$。

乘法的转置交换顺序后需倒着乘

五、行列式

六、矩阵的初等变换

七、矩阵的秩

八、复习连接

• 矩阵的运算规则是后面所有内容的底座：线性方程组用矩阵表示方程组，矩阵的特征值和特征向量研究方阵的核心方向，二次型用对称矩阵表示多元二次表达式。
• 矩阵乘法的直觉：$AB$ 表示先做 $B$ 对应的线性变换，再做 $A$ 对应的线性变换，所以通常不能交换顺序。
• 应用入口：分块矩阵适合处理大型系统，逆矩阵适合表达唯一解 $x=A^{-1}b$，但实际计算更常用矩阵的初等变换。