二次型

核心问题

二次型研究的是形如 $x^{T}Ax$ 的二次表达式。它把“多元二次函数的形状”转化为“对称矩阵的性质”，所以要和矩阵的特征值和特征向量、正交矩阵、相似矩阵与矩阵可对角化的条件一起看。

一、二次型的定义

含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的二次齐次多项式

$$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

称为一个 $n$ 元二次型。

通常把交叉项平均分配到对称位置，写成矩阵形式：

$$f(x)=x^{T}Ax$$

其中 $A=A^T$，称为二次型 $f$ 的矩阵。

例：

$$f(x_1,x_2)=2x_1^2+6x_1{x}_2+5x_2^2$$

对应矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 5\end{array}\right)$$

因为交叉项 $6x_1{x}_2$ 来自 $3x_1{x}_2+3x_2{x}_1$。

二、合同变换

令 $x=Cy$，其中 $C$ 可逆，则

$$f=x^{T}Ax=(Cy{)}^{T}A(Cy)=y^T(C^{T}AC)y$$

矩阵 $A$ 变为

$$B=C^{T}AC$$

称 $A$ 与 $B$ 合同。

与相似的区别

相似变换是 $P^{-1}AP$，保持特征值；合同变换是 $C^{T}AC$，用于化二次型标准形。二者都在“换坐标”，但保留的性质不同。

三、标准形与规范形

若通过可逆线性替换把二次型化为

$$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_r{y}_r^2$$

则称为二次型的标准形。

若进一步把非零系数化为 $1$ 或 $-1$：

$$f=z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_r^2$$

称为规范形。

• 正平方项个数 $p$ 称为正惯性指数。
• 负平方项个数 $r-p$ 称为负惯性指数。
• 非零平方项个数 $r$ 等于二次型矩阵的秩。

四、化标准形的方法

1. 配方法

适合低阶、手算题。

基本思路：

1. 先找平方项。
2. 把含某个变量的一组项配成完全平方。
3. 对剩余变量继续处理。

2. 初等变换法

对矩阵 $A$ 做成对的行列变换：

• 对第 $i$ 行做某个初等行变换，同时对第 $i$ 列做对应的初等列变换。
• 这样保持合同关系。
• 最终把 $A$ 化为对角矩阵，对角元就是标准形系数。

3. 正交变换法

如果 $A$ 是实对称矩阵，则存在正交矩阵 $Q$，使得

$$Q^{T}AQ=\Lambda$$

其中 $\Lambda$ 是由特征值组成的对角矩阵。

这说明二次型可通过正交变换化为

$$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

参见正交矩阵与矩阵的特征值和特征向量。

五、正定二次型

二次型 $f=x^{T}Ax$ 称为正定，如果对任意非零向量 $x$，都有

$$x^{T}Ax>0$$

常见判别方法：

判别角度	正定条件
特征值	$A$ 的全部特征值大于 $0$
顺序主子式	$A$ 的所有顺序主子式均大于 $0$
标准形	标准形中所有非零系数为正，且秩为 $n$

负定类似：全部特征值小于 $0$；顺序主子式符号满足

$${\Delta }_1<0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3<0,\dots$$

六、与应用的连接

• 在多元函数的极值及其求法中，二阶泰勒展开的主部就是二次型，Hessian 矩阵正定通常对应局部极小。
• 在最小二乘、回归、机器学习中，损失函数常含 $x^{T}Ax$，正定性决定唯一最优解和曲面形状。
• 在几何中，二次型描述椭圆、双曲面等二次曲面的主轴方向；主轴方向由特征向量给出。

七、做题检查表

• 先把二次型写成 $x^{T}Ax$，注意交叉项系数要平分。
• 问标准形：优先配方法或成对初等变换。
• 问正定性：优先顺序主子式；若已知特征值，则直接看特征值符号。
• 问几何意义：联系矩阵的特征值和特征向量，特征向量给主轴方向，特征值给伸缩强度。