矩阵的初等变换

一、矩阵的初等变换与初等矩阵

• 初等变换的定义
  • 交换A的某两行（列）
  • 用一个非零的数乘以A的某一行（列）
  • 将A的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上 称为初等变换
• 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
• 初等矩阵的性质
  • 初等矩阵的转置仍为初等矩阵
  • 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵.其中P(i,j)^{-1}=P(i,j)$$$$P(i(k))^{-1}=P(i(\frac{1}{k}))
  • 如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$
  • 等价关系具有反身性、对称性、传递性
    • 例如两个线性方程组同解

二、求逆矩阵的初等变换法

求逆矩阵的初等变换法主要有两种方式：行变换法和列变换法，其中最常用的是行变换法。

行初等变换法（最常用）

步骤：

1. 将 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 与同阶单位矩阵 $E$ 并排放置，构造一个 $n\times 2n$ 的增广矩阵 $(A\mid E)$。.
2. 对该矩阵进行行初等变换，目标是将其左侧的 $A$ 化为单位矩阵 $E$。
3. 当左侧变为 $E$ 时，右侧即为 $A^{-1}$，即最终形式为 $(E\mid A^{-1})$。

原理： 初等行变换等价于左乘初等矩阵。设变换过程中左乘的初等矩阵依次为 $P_1,P_2,\dots ,P_k$，则 $P_k\cdots P_2{P}_{1}A=E\Rightarrow P_k\cdots P_2{P}_1=A^{-1},$ 而右侧的 $E$ 经过同样的左乘后变为 $P_k\cdots P_2{P}_{1}E=A^{-1}$。

示例： 求 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

解：构造 $(A\mid E)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& \mid & 1& 0\\ 3& 4& \mid & 0& 1\end{array}\right)$。

• 将第1行乘以 $-3$ 加到第2行：$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& \mid & 1& 0\\ 0& -2& \mid & -3& 1\end{array}\right)$
• 将第2行乘以 $-\frac{1}{2}$：$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& \mid & 1& 0\\ 0& 1& \mid & \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$
• 将第2行乘以 $-2$ 加到第1行：$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \mid & -2& 1\\ 0& 1& \mid & \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

因此 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$。

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列初等变换法（较少用）

步骤：

1. 将 $A$ 与 $E$ 上下叠放，构造 $\left(\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right)$。
2. 进行列初等变换，将上半部分的 $A$ 化为 $E$。
3. 下半部分即得到 $A^{-1}$。

原理： 列变换右乘初等矩阵，最终得到 $\left(\begin{array}{c}E\\ A^{-1}\end{array}\right)$。

注意： 行变换和列变换不能混用，必须全程只使用一种类型的初等变换。

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与笔记中其他内容的联系

• 笔记中提到的初等矩阵 $P(i,j)$ 和 $P(i(k))$ 对应于：

  • 交换两行：左乘 $P(i,j)$
  • 某行乘以非零常数 $k$：左乘 $P(i(k))$
  • 某行 $k$ 倍加到另一行：左乘 $P(i,j(k))$

• 推论4（$A$ 可逆 $⟺$ $A$ 可表为有限个初等矩阵的乘积）正是初等变换法求逆的理论基础：因为存在初等矩阵使 $P_k\cdots P_{1}A=E$，所以 $A^{-1}=P_k\cdots P_1$，而 $A=P_1^{-1}\cdots P_k^{-1}$ 正是初等矩阵的乘积。

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补充：利用逆矩阵的定义验证

得到 $A^{-1}$ 后，可验证 $A\cdot A^{-1}=E$ 或 $A^{-1}\cdot A=E$。若结果不是单位矩阵，说明变换过程有误或原矩阵不可逆。

提示： 如果变换过程中左侧出现全零行，则 $A$ 不可逆，此时不存在逆矩阵。

• 推论：对于任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $$PAQ=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$ 其中 $r=r(A)$。这说明任何矩阵都可通过等价变换化为等价标准形。
• 推论4：
  • n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表为有限个初等矩阵的乘积

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三、初等变换的三类用途

1. 化简矩阵

通过初等行变换把矩阵化为行阶梯形或行最简形，用来求矩阵的秩、判断主元列、找极大线性无关组。

2. 解线性方程组

对增广矩阵 $(A\mid b)$ 做初等行变换：

• 出现 $0=d(d\ne 0)$，则无解；
• 主元覆盖所有未知量，则唯一解；
• 有自由变量，则无穷多解。

参见线性方程组与线性方程组解的结构。

3. 求逆矩阵

对 $(A\mid E)$ 做初等行变换：

$$(A\mid E)\to (E\mid A^{-1})$$

如果左侧无法化为 $E$，说明 $A$ 不可逆。

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四、行变换与列变换的区别

• 行变换适合解方程组，因为它不改变方程组的解集。
• 列变换会改变未知量的组合方式，一般不能直接用于解方程组。
• 求秩时行变换、列变换都可以，因为初等变换不改变矩阵的秩。
• 求二次型标准形时要做“成对的行列变换”，对应二次型中的合同变换。

易错点

解线性方程组时不要混用行变换和列变换；求逆矩阵时也要全程保持一种方式。