线性方程组解的结构

线性方程组解的结构

一、基本概念与记号

• 设有 $m$ 个方程、$n$ 个未知量的线性方程组 $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$
• 矩阵形式：$Ax=b$，其中 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$，$b=(b_1,\dots ,b_m{)}^T$。
• 若 $b=0$，称为齐次线性方程组；若 $b\ne 0$，称为非齐次线性方程组。
• 解的存在定理（Rouché–Capelli 定理）：方程组 $Ax=b$ 有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩： $$r(A)=r(A\mid b).$$

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二、齐次线性方程组 $Ax=0$

1. 解的性质

• 性质1：若 $x_1,x_2$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $x_1+x_2$ 也是解。
• 性质2：若 $x$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $kx$（$k$ 为任意实数）也是解。
• 性质3：齐次方程组的解的任意线性组合仍然是解。

因此，齐次方程组的解集合构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间，称为解空间（或零空间），记作 $N(A)$。

2. 解空间的维数与基础解系

定理（基础解系存在定理）：设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r(A)=r$。

• 若 $r=n$，则方程组只有零解，解空间为 $\{0\}$，维数为 $0$。
• 若 $r<n$，则方程组存在非零解，且解空间维数为 $n-r$。

定义：解空间的一组基称为方程组的一个基础解系。基础解系含 $n-r$ 个线性无关的解向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-r}$，方程组的通解可表示为：

$$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r},k_1,\dots ,k_{n-r}\in \mathbb{R}.$$

3. 基础解系的求法

1. 将系数矩阵 $A$ 通过初等行变换化为行最简形（或行阶梯形）。
2. 确定主元列的未知量（主变量）和自由列的未知量（自由变量）。自由变量的个数 = $n-r$。
3. 对自由变量分别赋予如下值（共 $n-r$ 组）： $$(1,0,\dots ,0),(0,1,\dots ,0),\dots ,(0,0,\dots ,1)$$
4. 回代到行最简形对应的方程组，解出主变量，得到 $n-r$ 个解向量，即为基础解系。

推论：齐次线性方程组的任意解都可以唯一地表示为基础解系的线性组合。

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三、非齐次线性方程组 $Ax=b$（$b\ne 0$）

1. 解的性质与结构

• 性质1：设 $x^{\ast }$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，$\eta$ 是 $Ax=0$ 的任意解，则 $x^{\ast }+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。
• 性质2：若 $x_1,x_2$ 都是 $Ax=b$ 的解，则 $x_1-x_2$ 是 $Ax=0$ 的解。

定理（非齐次线性方程组解的结构定理）： 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r(A)=r(A\mid b)=r$，${\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-r}$ 为对应齐次方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系，$x^{\ast }$ 为 $Ax=b$ 的任意一个特解，则非齐次方程组的通解为：

$$x=x^{\ast }+k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r},$$

其中 $k_1,\dots ,k_{n-r}\in \mathbb{R}$ 为任意常数。

2. 特解的求法

1. 将增广矩阵 $(A\mid b)$ 化为行最简形。
2. 令所有自由变量取值为 0，解出主变量的值，即得一个特解 $x^{\ast }$。

（注：也可以对自由变量取其他常数值，得到不同的特解，但通解形式不变。）

3. 解的唯一性条件

定理：若 $r(A)=r(A\mid b)=n$（即系数矩阵列满秩），则非齐次方程组有唯一解。此时齐次方程组只有零解，通解中的自由部分消失。

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四、解的判定总结

条件	$Ax=0$	$Ax=b$
$r(A)=n$	只有零解	若 $r(A)=r(A\mid b)=n$，唯一解；否则无解
$r(A)<n$	有非零解，解空间维数 $n-r$	若 $r(A)=r(A\mid b)=r$，无穷多解（$n-r$ 个自由参数）；否则无解
$r(A)\ne r(A\mid b)$	—	无解

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五、相关推论

1. 零解的非平凡性：若方程个数 $m<n$（未知数多于方程数），则 $r(A)\le m<n$，齐次方程组必有非零解。
2. 解空间的基与自由变量：基础解系向量的构造与自由变量的选取方式有关，但不同选取方式得到的基础解系彼此等价，线性张成的解空间相同。
3. 线性相关性与解的关系：若齐次方程组有非零解，则系数矩阵的列向量线性相关；反之，若只有零解，则列向量线性无关。

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记忆口诀

齐次通解加特解，自由个数看秩缺。 解的存在看秩等，相等有解不相等无。