向量(组)间的线性关系

一、向量的线性组合

1. 定义

• 给定向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 和一组实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，则向量 $$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$$ 称为向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的 线性组合。
• $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 称为 组合系数。

2. 线性表示

• 若向量 $\beta$ 可以表示为向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合，则称 $\beta$ 可由该向量组 线性表示。
• 等价条件：$\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表示 $⟺$ 方程组 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_m{\alpha }_m=\beta$ 有解 $⟺$ $r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)=r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m,\beta )$。

定理（线性表示与秩的关系）：若 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性表示，则 $r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,\beta )=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$。反之，若秩相等，则 $\beta$ 必可由该向量组线性表示。 推论：若 $\beta$ 不能由该向量组线性表示，则 $r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,\beta )=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)+1$。

3. 示例

设 ${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(0,1,2)$，$\beta =(2,5,8)$，判断 $\beta$ 能否由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示。

解： 设 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$，即

$$(2,5,8)=k_1(1,2,3)+k_2(0,1,2)=(k_1,2k_1+k_2,3k_1+2k_2)$$

得方程组：

$$\{\begin{array}{l}{k}_1=2\\ 2k_1+k_2=5\\ 3k_1+2k_2=8\end{array}$$

解得 $k_1=2$，$k_2=1$，满足第三个方程，所以 $\beta =2{\alpha }_1+{\alpha }_2$，即 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示。

---

二、向量组线性相关与线性无关

1. 线性相关

• 定义：对于向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，若存在 不全为零 的实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得 $$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$$ 则称该向量组 线性相关。

2. 线性无关

• 定义：若只有当 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ 时，才有 $$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$$ 则称该向量组 线性无关。

3. 判断方法

方法一：定义法

• 设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$，得到齐次线性方程组。
• 有非零解 $⟺$ 线性相关。
• 只有零解 $⟺$ 线性无关。

方法二：秩法

• 向量组的秩等于向量个数 $⟺$ 线性无关。
• 向量组的秩小于向量个数 $⟺$ 线性相关。

方法三：行列式法（适用于 $n$ 个 $n$ 维向量）

• 将 $n$ 个 $n$ 维向量按列（或行）组成 $n$ 阶方阵 $A$。
• $|A|\ne 0$ $⟺$ 线性无关。
• $|A|=0$ $⟺$ 线性相关。

4. 重要结论

1. 单个向量：$\alpha$ 线性相关 $⟺$ $\alpha =0$；$\alpha$ 线性无关 $⟺$ $\alpha \ne 0$。
2. 两个向量：线性相关 $⟺$ 对应分量成比例。
3. 零向量：含有零向量的向量组一定线性相关。
4. 部分与整体：
   • 部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关。
   • 整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关。
5. 延长与缩短：
   • 线性无关的向量组，每个向量增加分量（延长）后仍线性无关。
   • 线性相关的向量组，每个向量减少分量（缩短）后仍线性相关。
6. 线性表示与相关性：若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关，而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 唯一 线性表示。

定理（线性相关的等价刻画）：向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$（$m\ge 2$）线性相关当且仅当存在某个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示。 证明：必要性：由线性相关定义，存在不全为零的系数，设 $k_i\ne 0$，则 ${\alpha }_i=-{\sum }_{j\ne i}\frac{k_j}{k_i}{\alpha }_j$。充分性：若 ${\alpha }_i$ 可由其余向量线性表示，则移项得到线性相关式。

5. 示例

示例 1：判断线性相关性

判断向量组 ${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(2,4,6)$ 是否线性相关。

解： 观察可知 ${\alpha }_2=2{\alpha }_1$，即存在不全为零的系数 $k_1=2$，$k_2=-1$ 使得 $2{\alpha }_1-{\alpha }_2=0$，所以向量组线性相关。

示例 2：判断线性相关性

判断向量组 ${\alpha }_1=(1,0,1)$，${\alpha }_2=(0,1,0)$，${\alpha }_3=(0,0,1)$ 是否线性相关。

解： 组成行列式：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=1\times 1\times 1=1\ne 0$$

所以向量组线性无关。

---

三、极大线性无关组与向量组的秩

包含非零向量的向量组一定有极大线性无关组

1. 极大线性无关组

• 定义：在向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 中，若存在 $r$ 个向量满足：
  1. 这 $r$ 个向量线性无关。
  2. 向量组中任意 $r+1$ 个向量（如果存在）都线性相关。 则称这 $r$ 个向量为原向量组的 极大线性无关组。
• 注：极大线性无关组一般不唯一，但所含向量个数相同。

定理（唯一性定理）：同一向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。该公共个数即向量组的秩。 证明：由替换定理（Steinitz 替换定理），两个极大无关组等价，等价线性无关向量组所含向量个数必相等。

2. 向量组的秩

• 定义：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，称为该向量组的 秩。
• 记法：$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$。
• 性质：
  • 向量组线性无关 $⟺$ 秩 = 向量个数。
  • 向量组线性相关 $⟺$ 秩 < 向量个数。
  • 向量组的秩等于其构成的矩阵的秩。

3. 求极大线性无关组的方法

1. 将向量按列组成矩阵 $A$。
2. 对 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。
3. 每个非零行的首个非零元（主元）所在的列对应的原向量，即构成一个极大线性无关组。

4. 定理

• 个数多的向量组能被个数少的向量组线性表示 $\Rightarrow$ 个数多的向量组必然线性相关。 因为表示方的秩 $\le$ 其向量个数 $<$ 被表示方向量个数，即秩 $<$ 向量个数，所以线性相关。
• 替换定理（Steinitz）：设向量组 $A:{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性无关，且可由向量组 $B:{\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 线性表示，则 $r\le s$，并且可在 $B$ 中选取 $r$ 个向量替换为 $A$ 中的向量，使新向量组与 $B$ 等价。

---

四、向量组的等价

1. 定义

• 若向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，且向量组（II）中每个向量也均可由向量组（I）线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价，记作≌

2. 性质

• 自反性（反身性）：向量组与自身等价。
• 对称性：若（I）与（II）等价，则（II）与（I）等价。
• 传递性：若（I）与（II）等价，（II）与（III）等价，则（I）与（III）等价。
• 等价的向量组秩相等。

定理（向量组等价的充要条件）：向量组（I）与（II）等价当且仅当 $r(I)=r(II)$ 且（I）可由（II）线性表示（或（II）可由（I）线性表示，此时另一方向自动成立）。 证明：若（I）可由（II）表示，则 $r(I)\le r(II)$；若两者秩相等，则（II）也可由（I）表示（利用极大无关组等价性），故等价。

3. 与矩阵的联系

• 矩阵的行向量组与列向量组的秩不一定相等，但矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩。
• 初等行变换不改变行向量组的线性关系，但可能改变列向量组的线性关系（反之亦然）。

4. 定理

• 向量组的极大线性无关组之间等价
• 向量组和它的极大线性无关组等价

---

五、线性方程组解的结构

---

六、R的n次方的标准正交基