R的n次方的标准正交基

向量的长度

$R^n$ 的标准正交基

1. 基的定义（回顾）

设 $V$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间（或 ${\mathbb{R}}^n$ 本身）。基是 $V$ 中一组线性无关的向量 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r\}$，且 $V$ 中任意向量都可唯一表示为这组向量的线性组合。此时 $r=\dim V$。

自然，${\mathbb{R}}^n$ 中最简单的基是标准基：

$${\epsilon }_1=(1,0,\dots ,0{)}^T,{\epsilon }_2=(0,1,\dots ,0{)}^T,\dots ,{\epsilon }_n=(0,0,\dots ,1{)}^T.$$

2. 标准正交基的定义

设 $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基，若满足：

• 正交性：$v_i\cdot v_j=0$ （$i\ne j$）；
• 单位性：$\Vert v_i\Vert =\sqrt{v_i\cdot v_i}=1$；

则称这组基为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个标准正交基（orthonormal basis），简记为 ONB。

注：若只满足正交性而不要求单位长度，则称为正交基；单位化后即得标准正交基。

正交向量组的定义

一组向量 $\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}$ 称为正交向量组（orthogonal set），若其中任意两个不同的向量都正交，即：

$$v_i\cdot v_j=0(i\ne j).$$

通常还要求每个 $v_i\ne 0$（否则零向量会破坏线性无关性），此时正交向量组必然是线性无关的。若再有 $\Vert v_i\Vert =1$，则称为标准正交向量组。

3. 标准正交基的性质与判定

3.1 判定标准

一组向量 $\{v_1,\dots ,v_n\}$ 是标准正交基的充要条件：

• $v_i\cdot v_j={\delta }_{ij}$ （Kronecker 记号），即当 $i=j$ 时等于1，否则为0。
• 它们构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的基（即个数等于 $n$ 且线性无关）。

3.2 坐标的简单计算

· 若 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 是标准正交基，则任意向量 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$ 的唯一坐标表示为：

$$\alpha =(\alpha \cdot e_1)e_1+(\alpha \cdot e_2)e_2+\cdots +(\alpha \cdot e_n)e_n.$$

即坐标分量就是向量 $\alpha$ 与各个基向量的内积。

推论：若两个向量在标准正交基下的坐标相同，则它们相等。

3.3 内积与长度的不变性

设 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$，在标准正交基 $\{e_i\}$ 下的坐标分别为 $(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ 和 $(y_1,\dots ,y_n{)}^T$，则：

• 内积：$\alpha \cdot \beta =x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$；
• 长度：$\Vert \alpha \Vert =\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$。

这与标准基下的计算完全一致——标准正交基“保持”了 ${\mathbb{R}}^n$ 的欧几里得结构。

3.4 与正交矩阵的关系

以标准正交基为列向量构成的矩阵 $Q=[e_1{e}_2\cdots e_n]$ 是正交矩阵，即满足：

$$Q^{T}Q=E(\text{或等价地 }{Q}^{-1}=Q^T).$$

反过来，任意正交矩阵的列向量组（或行向量组）构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个标准正交基。

4. Gram–Schmidt 正交化过程

从任意一组线性无关的向量 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\}$ 出发，可以构造一个标准正交基。步骤（教材中标准算法）：

1. 正交化（得到正交向量组 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n\}$）：

   • ${\beta }_1={\alpha }_1$；
   • 对 $k=2,3,\dots ,n$，依次令： $${\beta }_k={\alpha }_k-\frac{{\alpha }_k\cdot {\beta }_1}{{\beta }_1\cdot {\beta }_1}{\beta }_1-\frac{{\alpha }_k\cdot {\beta }_2}{{\beta }_2\cdot {\beta }_2}{\beta }_2-\cdots -\frac{{\alpha }_k\cdot {\beta }_{k-1}}{{\beta }_{k-1}\cdot {\beta }_{k-1}}{\beta }_{k-1}.$$ 即减去 ${\alpha }_k$ 在已有正交向量上的投影。

2. 单位化（得到标准正交基 $\{{\eta }_1,\dots ,{\eta }_n\}$）：

   • 令 ${\eta }_i=\frac{{\beta }_i}{\Vert {\beta }_i\Vert }$，$i=1,\dots ,n$。

该过程保持了原向量组的线性关系，并且得到的 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基。

5. 标准正交基下的坐标变换

若已知 ${\mathbb{R}}^n$ 中两组标准正交基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 和 $\{f_1,\dots ,f_n\}$，则从旧基到新基的过渡矩阵 $P$ 满足：

$$(f_1,\dots ,f_n)=(e_1,\dots ,e_n)P.$$

由于两者都是标准正交基，$P$ 必为正交矩阵（$P^{T}P=I$）。坐标变换公式为：

$$x_{\text{新}}=P^T{x}_{\text{旧}},x_{\text{旧}}=P{x}_{\text{新}}.$$

6. 应用举例

• 最小二乘法：将数据点向标准正交基分解，简化正规方程。
• QR 分解：利用 Gram–Schmidt 过程将矩阵分解为正交矩阵 $Q$ 与上三角矩阵 $R$。
• 傅里叶级数中的正交函数系是函数空间标准正交基思想的延伸。

正交矩阵

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