正交矩阵

核心直觉

正交矩阵表示“只旋转/翻折，不拉伸”的线性变换。它保持长度、夹角和内积，是连接向量的长度、R的n次方的标准正交基、矩阵的特征值和特征向量与二次型的重要工具。

一、定义

若 $n$ 阶方阵 $Q$ 满足

$$Q^{T}Q=I$$

则称 $Q$ 为正交矩阵。

等价地：

$$Q^{-1}=Q^T$$

也就是说，正交矩阵的逆矩阵就是它的转置。

二、列向量与行向量的含义

设

$$Q=(q_1,q_2,\dots ,q_n)$$

其中 $q_i$ 是 $Q$ 的列向量。则

$$Q^{T}Q=I$$

等价于

$$q_i^T{q}_j=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

因此，正交矩阵的列向量组是一组标准正交基；行向量组也是一组标准正交基。

三、保持长度与内积

对任意向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$，有

$$\Vert Qx\Vert =\Vert x\Vert$$

证明：

$$\Vert Qx{\Vert }^2=(Qx{)}^T(Qx)=x^T{Q}^{T}Qx=x^{T}x=\Vert x{\Vert }^2$$

更一般地，对任意 $x,y$：

$$(Qx{)}^T(Qy)=x^T{Q}^{T}Qy=x^{T}y$$

所以正交变换保持：

• 向量长度；
• 向量夹角；
• 正交关系；
• 距离。

四、行列式与几何意义

若 $Q$ 是正交矩阵，则

$$|Q|=\pm 1$$

• $|Q|=1$：通常对应旋转。
• $|Q|=-1$：通常对应反射或包含反射的变换。

二维旋转矩阵：

$$Q=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

五、正交相似

若存在正交矩阵 $Q$，使

$$B=Q^{T}AQ$$

则称 $A$ 与 $B$ 正交相似。

因为 $Q^{-1}=Q^T$，所以正交相似也是一种特殊的相似变换：

$$B=Q^{-1}AQ$$

正交相似保留特征值，同时又保持坐标系的长度和角度，因此比一般相似变换更适合几何理解。

六、实对称矩阵的正交对角化

若 $A=A^T$，则存在正交矩阵 $Q$，使得

$$Q^{T}AQ=\Lambda$$

其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，对角元是 $A$ 的特征值。

这说明：

• 实对称矩阵一定可对角化；
• 不同特征值对应的特征向量正交；
• 可选取一组标准正交特征向量作为 $Q$ 的列向量。

参见相似矩阵与矩阵可对角化的条件。

七、与二次型的连接

二次型

$$f=x^{T}Ax$$

若 $A$ 是实对称矩阵，令 $x=Qy$，则

$$f=(Qy{)}^{T}A(Qy)=y^T(Q^{T}AQ)y$$

若 $Q^{T}AQ=\Lambda$，则

$$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

这就是用正交变换把二次型化为标准形。

八、做题检查表

• 判断正交矩阵：算 $Q^{T}Q$ 是否等于 $I$。
• 已知列向量：检查列向量是否两两正交且长度为 $1$。
• 求逆矩阵：若 $Q$ 正交，直接写 $Q^{-1}=Q^T$。
• 实对称矩阵对角化：求特征值 → 求特征向量 → 单位化并正交化 → 按列组成 $Q$。