相似矩阵与矩阵可对角化的条件

相似矩阵与矩阵可对角化的条件

1. 相似矩阵的定义

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得

$$B=P^{-1}AP,$$

则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$。$P$ 称为相似变换矩阵。

2. 相似矩阵的性质

若 $A\sim B$，则它们具有以下共同特征（相似不变量）：

• 秩相等：$r(A)=r(B)$；
• 行列式相等：$\det A=\det B$；
• 迹相等：$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$；
• 特征多项式相同：$|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$；
• 特征值相同（包括代数重数）；
• 可逆性相同：$A$ 可逆当且仅当 $B$ 可逆，且若可逆则 $A^{-1}\sim B^{-1}$；
• 对任意多项式 $f$，有 $f(A)\sim f(B)$。

注：特征多项式相同是相似的必要条件，但不是充分条件（例如 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 与单位阵的特征多项式相同，但不相似）。

3. 矩阵可对角化的概念

若 $A$ 相似于一个对角矩阵 $\Lambda$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得

$$P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n),$$

则称 $A$ 可对角化（或可相似对角化），$P$ 称为对角化矩阵，${\lambda }_i$ 为 $A$ 的特征值（可重复）。

4. 可对角化的充要条件

定理 1（几何重数条件）

$n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化 $⟺$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

等价地：$A$ 的每个特征值的几何重数（即特征空间的维数）等于其代数重数。

几何重数：特征值 ${\lambda }_i$ 的特征子空间 $V_{{\lambda }_i}$ 的维数，即 $n-r({\lambda }_{i}I-A)$。
代数重数：特征多项式 $|\lambda I-A|$ 中 $(\lambda -{\lambda }_i)$ 的重数。

定理 2（特征值互异条件）

若 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值，则 $A$ 必可对角化（充分条件，非必要）。

定理 3（实对称矩阵）

实对称矩阵一定可对角化，且可被正交矩阵对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T}AQ=\Lambda$（谱定理）。

5. 对角化的步骤

1. 求特征值：解 $|\lambda I-A|=0$，得到特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s$（含重数）。

2. 求特征向量：对每个 ${\lambda }_i$，解齐次线性方程组 $({\lambda }_{i}I-A)x=0$，得到基础解系（即线性无关的特征向量）。

3. 判断：若所有特征值对应的线性无关特征向量总个数 $=n$，则可对角化。

4. 构造 $P$ 和 $\Lambda$：将所有特征向量按列排成 $P$（顺序与特征值对应），则

   $$\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n),$$

   且 $P^{-1}AP=\Lambda$。

6. 典型反例：不可对角化的矩阵

矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 的特征值 $\lambda =1$（二重根），但几何重数为 $1$（$r(I-A)=1$，解空间维数为 $1$），因此不可对角化。这类矩阵称为亏损矩阵（defective matrix）。

7. 相似对角化的应用

• 简化矩阵幂运算：$A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$；
• 求解线性微分方程组 $\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}$；
• 判断矩阵的收敛性与稳定性；
• 在数值计算中（如 Jordan 标准形）处理亏损情形。

8. 与二次型、正交矩阵的区别

• 一般相似变换：$P^{-1}AP$，核心是换基，保留特征值、迹、行列式等相似不变量。
• 正交相似变换：$Q^{T}AQ$，其中 $Q$ 是正交矩阵，既是相似变换，又保持长度和角度。
• 合同变换：$C^{T}AC$，主要用于二次型化标准形，不要求保留特征值。

记忆

特征值问题看“相似”，二次型问题看“合同”；如果矩阵是实对称矩阵，正交相似和二次型标准化会在同一组正交特征向量上汇合。

9. 做题检查表

1. 先求特征多项式，分清代数重数。
2. 对每个特征值解 $(\lambda I-A)x=0$，求特征空间维数。
3. 特征向量总数达到 $n$，才能相似对角化。
4. 若 $A$ 是实对称矩阵，直接走正交对角化思路。

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参考资料：卢刚《线性代数》第四版 第五章 相似矩阵与矩阵可对角化