向量及其线性运算

一、向量的概念

1. 定义

• $n$ 维向量：由 $n$ 个有序数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 组成的数组称为 $n$ 维向量。
• 表示方法：
  • 行向量：$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$
  • 列向量：$\alpha =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$
• 分量：向量中的每个数 $a_i$ 称为向量的第 $i$ 个分量。
• 零向量：所有分量全为零的向量，记作 $0$ 或 $\vec{0}$。
• 负向量：向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 的负向量为 $-\alpha =(-a_1,-a_2,\cdots ,-a_n)$。

2. 向量与矩阵的关系

• $n$ 维行向量可以看作 $1\times n$ 矩阵。
• $n$ 维列向量可以看作 $n\times 1$ 矩阵。
• 向量的运算与矩阵的运算规则一致。

3

二、向量的线性运算

1. 向量的加法

• 定义：设 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，$\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$，则 $$\alpha +\beta =(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n)$$
• 运算律：
  • 交换律：$\alpha +\beta =\beta +\alpha$
  • 结合律：$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$
  • 零向量：$\alpha +0=\alpha$
  • 负向量：$\alpha +(-\alpha )=0$

2. 向量的数乘

• 定义：设 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，$k$ 为实数，则 $$k\alpha =(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n)$$
• 运算律：
  • 分配律 1：$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$
  • 分配律 2：$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$
  • 结合律：$k(l\alpha )=(kl)\alpha$
  • 数乘 1：$1\cdot \alpha =\alpha$

3. 向量的线性运算

• 向量的加法和数乘统称为向量的 线性运算。
• 线性运算的结果仍然是同维数的向量。

---

三、向量组的线性组合

1. 线性组合的定义

• 给定向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 和一组实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，则向量 $$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$$ 称为向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的 线性组合。
• $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 称为 组合系数。

2. 线性表示

• 若向量 $\beta$ 可以表示为向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合，则称 $\beta$ 可由该向量组 线性表示。
• 等价条件：$\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表示 $⟺$ 方程组 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_m{\alpha }_m=\beta$ 有解。

3. 示例

设 ${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(0,1,2)$，$\beta =(2,5,8)$，判断 $\beta$ 能否由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示。

解： 设 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$，即

$$(2,5,8)=k_1(1,2,3)+k_2(0,1,2)=(k_1,2k_1+k_2,3k_1+2k_2)$$

得方程组：

$$\{\begin{array}{l}{k}_1=2\\ 2k_1+k_2=5\\ 3k_1+2k_2=8\end{array}$$

解得 $k_1=2$，$k_2=1$，满足第三个方程，所以 $\beta =2{\alpha }_1+{\alpha }_2$，即 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示。

---

四、向量组的线性相关性

1. 线性相关

• 定义：对于向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，若存在 不全为零 的实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得 $$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$$ 则称该向量组 线性相关。

2. 线性无关

• 定义：若只有当 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ 时，才有 $$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$$ 则称该向量组 线性无关。

3. 判断方法

• 方法一（定义法）：设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$，得到齐次线性方程组，判断是否有非零解。
  • 有非零解 $⟺$ 线性相关。
  • 只有零解 $⟺$ 线性无关。
• 方法二（秩法）：向量组的秩等于向量个数 $⟺$ 线性无关；向量组的秩小于向量个数 $⟺$ 线性相关。
• 方法三（行列式法）：对于 $n$ 个 $n$ 维向量，组成的行列式不为零 $⟺$ 线性无关；行列式为零 $⟺$ 线性相关。

4. 重要结论

1. 单个向量 $\alpha$ 线性相关 $⟺$ $\alpha =0$。
2. 两个向量线性相关 $⟺$ 对应分量成比例。
3. 含有零向量的向量组一定线性相关。
4. 部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关；整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关。
5. 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关，而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 唯一线性表示。

---

五、向量组的秩

1. 极大线性无关组

• 在向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 中，若存在 $r$ 个向量满足：
  1. 这 $r$ 个向量线性无关。
  2. 向量组中任意 $r+1$ 个向量（如果存在）都线性相关。 则称这 $r$ 个向量为原向量组的 极大线性无关组。

2. 向量组的秩

• 定义：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，称为该向量组的 秩。
• 记法：$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$。
• 性质：
  • 向量组线性无关 $⟺$ 秩 = 向量个数。
  • 向量组线性相关 $⟺$ 秩 < 向量个数。
  • 向量组的秩等于其构成的矩阵的秩。

---

六、向量空间

1. 定义

• 设 $V$ 是 $n$ 维向量的非空集合，若 $V$ 对向量的加法和数乘运算封闭，即：
  • 若 $\alpha ,\beta \in V$，则 $\alpha +\beta \in V$。
  • 若 $\alpha \in V$，$k\in \mathbb{R}$，则 $k\alpha \in V$。 则称 $V$ 为 向量空间。

2. 基与维数

• 基：向量空间 $V$ 中一组线性无关的向量，且 $V$ 中任一向量都可由这组向量线性表示，则称这组向量为 $V$ 的一组 基。
• 维数：基中所含向量的个数称为向量空间 $V$ 的 维数，记作 $\dim (V)$。
• 坐标：设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 的一组基，则 $V$ 中任一向量 $\beta$ 可唯一表示为 $\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$，称 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 为 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的 坐标。

3. 常见向量空间

• ${\mathbb{R}}^n$：所有 $n$ 维实向量构成的向量空间，维数为 $n$。
• 零空间 $\{0\}$：只含零向量的向量空间，维数为 $0$。

---

向量(组)间的线性关系

七、复习连接

• 向量运算是线性方程组、向量组的秩、线性空间与线性变换的共同基础。
• 从几何上看，线性组合是在用若干方向“拼出”目标向量；从代数上看，就是判断方程 $Ax=b$ 是否有解。
• 如果一个向量组能张成空间且线性无关，它就是一组基；继续看线性空间与线性变换。