向量组的秩

向量组的秩

1. 前置概念回顾

1.1 向量组的定义

若干个同维数的列向量（或行向量）组成的集合称为一个向量组。例如：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\in {\mathbb{R}}^n$$

构成一个向量组，记作 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$。

1.2 线性组合与线性表示

• 给定向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$，对任意实数 $k_1,\dots ,k_m$，向量 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_m{\alpha }_m$ 称为该向量组的线性组合。
• 若向量 $\beta$ 可表示为 $\beta =k_1{\alpha }_1+\cdots +k_m{\alpha }_m$，则称 $\beta$ 可由向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性表示（或线性表出）。

1.3 向量组的等价

若向量组 $A$ 中的每个向量都可由向量组 $B$ 线性表示，且向量组 $B$ 中的每个向量也都能由向量组 $A$ 线性表示，则称 $A$ 与 $B$ 等价。等价具有自反性、对称性和传递性。

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2. 极大线性无关组

2.1 定义

设向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ 中有一部分向量组 $A_0:{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_r}$ 满足：

1. $A_0$ 是线性无关的；
2. $A$ 中任意向量（包括 $A_0$ 以外的所有向量）都可由 $A_0$ 线性表示。

则称 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）。

2.2 存在性

若向量组 $A$ 只含有零向量，则它没有极大线性无关组（因为任何一组零向量都线性相关）。若 $A$ 含有非零向量，则总存在极大线性无关组。

定理：任一非零向量组的极大线性无关组一定存在，且极大无关组所含向量个数由向量组本身决定，与选取方式无关。

2.3 性质

• 向量组 $A$ 与其任意极大无关组 $A_0$ 是等价的。
• 若向量组 $A$ 线性无关，则它本身就是自己的极大无关组。
• 若向量组 $A$ 线性相关，则它的极大无关组所含向量个数严格小于向量组中向量的个数。

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3. 向量组的秩

3.1 定义

向量组 $A$ 的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记作：

$$r(A)\text{或}r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m).$$

• 若向量组只有零向量，规定其秩为 $0$。

3.2 唯一性定理

定理（秩的唯一性）：向量组的极大线性无关组不唯一，但所有极大无关组所含向量的个数（即秩）是唯一确定的。

证明思路：设 $A_0$ 和 $A_1$ 是同一向量组 $A$ 的两个极大无关组，它们彼此等价。由等价的线性无关向量组所含向量个数相等（替换定理的推论），故 $|A_0|=|A_1|$。

3.3 秩与线性相关性的关系

由定义可直接得到：

• 线性无关 $⟺$ $r(A)=m$（秩等于向量个数）；
• 线性相关 $⟺$ $r(A)<m$（秩小于向量个数）。

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4. 重要定理与推论

4.1 线性表示与秩的关系

定理（线性表示与秩的不等式）：若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则

$$r(A)\le r(B).$$

推论：

• 等价向量组的秩相等。
• 若 $r(A)>r(B)$，则向量组 $A$ 不可能由向量组 $B$ 线性表示。

4.2 替换定理（Steinitz 替换定理）

定理：设向量组 $A:{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性无关，且可由向量组 $B:{\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 线性表示，则 $r\le s$，并且可在 $B$ 中选取 $r$ 个向量替换为 $A$ 中的 $r$ 个向量，使得替换后的新向量组与 $B$ 等价。

4.3 极大无关组的判别

定理：设 $r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)=r$，则向量组中任意 $r$ 个线性无关的向量都是该向量组的一个极大线性无关组。

这意味着：找到 $r$ 个线性无关的向量，就找到了一个极大无关组；不需要再验证其他向量是否能被它们线性表示（它们自动能被表示）。

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5. 向量组的秩与矩阵的秩

5.1 行秩与列秩

• 矩阵 $A$ 的行秩：$A$ 的行向量组的秩。
• 矩阵 $A$ 的列秩：$A$ 的列向量组的秩。

定理（行秩 = 列秩）：矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩，记作 $r(A)$。

证明思路：对矩阵进行初等行变换，行秩与列秩均不变；化为行阶梯形后，非零行数即为行秩，也等于主元列的个数（即列秩）。

5.2 用矩阵求向量组的秩

求向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 的秩：

1. 将向量按列排成矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)$；
2. 对 $A$ 做初等行变换，化为行阶梯形矩阵；
3. 行阶梯形矩阵中非零行的行数即为向量组的秩，也等于主元列的个数。

注：若将向量按行排成矩阵，则直接看行阶梯形的非零行数即可。

5.3 极大无关组的确定

在行阶梯形中，主元列对应的原向量构成一个极大线性无关组。例如，若第 $1,3,5$ 列是主元列，则原向量组中的 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_5$ 就是一个极大无关组。

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6. 常用结论总结

1. 零向量组的秩为 $0$；非零向量组的秩至少为 $1$。
2. 线性无关向量组的秩等于向量个数；线性相关向量组的秩小于向量个数。
3. 向量组 $A$ 可由 $B$ 线性表示 $\Rightarrow$ $r(A)\le r(B)$；反之不成立。
4. 若 $r(A)=r(B)$ 且 $A$ 可由 $B$ 线性表示，则 $A$ 与 $B$ 等价。
5. 三秩相等：矩阵的行秩 = 列秩 = 矩阵的秩，这是连接向量组与矩阵的桥梁。

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记忆口诀

极大无关组求秩，个数由向量定； 线性表示推秩不等，三秩相等贯始终。

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