矩阵的秩

一、定义

1. k 阶子式

在一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中，任意选取 $k$ 行和 $k$ 列（$1\le k\le \min (m,n)$），位于这些行与列交叉点上的元素，按原有相对位置构成的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。

2. 矩阵的秩

• 定义：若矩阵 $A$ 中存在一个 $k$ 阶子式不为零，而所有的 $k+1$ 阶子式（如果存在）全为零，则称矩阵 $A$ 的秩为 $k$。
• 记法：$r(A)$ 或 $rank(A)$。
• 零矩阵：规定零矩阵的秩为 0，即 $r(O)=0$。

3. 满秩矩阵

• 对于 $n$ 阶方阵 $A$，若 $r(A)=n$，则称 $A$ 为 满秩矩阵（或非奇异矩阵）。
• 等价条件：$n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $⟺$ $|A|\ne 0$ $⟺$ $r(A)=n$ $⟺$ $A$ 的等价标准形是 $E_n$。

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二、求法

1. 初等变换法（最常用）

• 核心定理：初等变换不改变矩阵的秩。
• 步骤：
  1. 对矩阵 $A$ 进行初等行变换（或列变换），将其化为 行阶梯形矩阵。
  2. 数出行阶梯形矩阵中 非零行的行数，该行数即为矩阵的秩 $r(A)$。

2. 行阶梯形矩阵

• 特征：
  1. 可画出一条阶梯线，线的下方全为零。
  2. 每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数。
  3. 阶梯线的竖线后面的第一个元素（称为 主元）为非零元。

3. 行最简形矩阵

• 在行阶梯形矩阵的基础上，进一步满足：
  1. 每个主元都是 1。
  2. 每个主元所在列的其余元素全为 0。
• 作用：常用于求解线性方程组。

4. 标准形矩阵

• 通过初等变换，任何 $m\times n$ 矩阵 $A$ 都可以化为标准形 $\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$，其中 $r=r(A)$。

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三、重要性质

1. 转置：$r(A)=r(A^T)$。
2. 乘法：
   • $r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}$。
   • 若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$；若 $B$ 可逆，则 $r(AB)=r(A)$。
3. 加法：$r(A+B)\le r(A)+r(B)$。
4. 分块矩阵：$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)$。

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四、应用

1. 判断线性方程组解的情况

对于 $n$ 元线性方程组 $Ax=b$，设增广矩阵为 $\bar{A}=(A\mid b)$：

• 无解：$r(A)<r(\bar{A})$。
• 唯一解：$r(A)=r(\bar{A})=n$。
• 无穷多解：$r(A)=r(\bar{A})<n$。

2. 判断向量组的线性相关性

• 线性相关：向量组的秩 < 向量个数。
• 线性无关：向量组的秩 = 向量个数。

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五、补充概念

• 增广矩阵：将系数矩阵 $A$ 与常数项列向量 $b$ 合并得到的矩阵 $\bar{A}=(A\mid b)$，是判断线性方程组解的情况的关键工具。
• 等价标准形：任何矩阵都可以通过初等变换化为唯一的等价标准形，其左上角是一个 $r\times r$ 的单位矩阵，其余元素全为 0。

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六、题型导航

1. 求矩阵秩

优先用矩阵的初等变换把矩阵化为行阶梯形，数非零行数。

注意：

• 行交换、某行乘非零数、某行倍加到另一行，都不改变秩。
• 若出现参数题，常常要分类讨论主元是否为零。

2. 判断向量组相关性

把向量按列排成矩阵：

• 主元列对应的原向量构成极大线性无关组。
• $r=$ 向量个数，则线性无关。
• $r<$ 向量个数，则线性相关。

参见向量组的秩与向量(组)间的线性关系。

3. 判断方程组解的情况

对 $Ax=b$：

条件	结论
$r(A)<r(A\mid b)$	无解
$r(A)=r(A\mid b)=n$	唯一解
$r(A)=r(A\mid b)<n$	无穷多解

完整解法见线性方程组与线性方程组解的结构。

4. 理解空间维数

在线性变换 $T(x)=Ax$ 中：

• $r(A)$ 是像空间维数；
• $n-r(A)$ 是核空间维数；
• 二者满足 $\dim \ker T+\dim \mathrm{Im}T=n$。

参见线性空间与线性变换。