线性方程组

一、克拉默法则

1. 适用条件

克拉默法则适用于 方程个数等于未知量个数 的线性方程组，即 $n$ 个方程、$n$ 个未知量的方程组。且系数矩阵的行列式 不为零。

2. 定理内容

对于 $n$ 元线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

若系数矩阵 $A$ 的行列式 $|A|\ne 0$，则方程组有 唯一解，且解为：

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|},x_2=\frac{|A_2|}{|A|},\cdots ,x_n=\frac{|A_n|}{|A|}$$

其中：

• $|A|$ 是系数矩阵 $A$ 的行列式。
• $|A_j|$ 是将系数矩阵 $A$ 的第 $j$ 列替换为常数项列向量 $b=(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$ 后得到的行列式。

3. 示例

解方程组：

$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2=5\\ x_1-3x_2=-1\end{array}$$

解：

1. 系数矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -3\end{array}\right)$，$|A|=2\times (-3)-1\times 1=-6-1=-7\ne 0$。
2. $|A_1|=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ -1& -3\end{array}\right|=5\times (-3)-1\times (-1)=-15+1=-14$。
3. $|A_2|=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& -1\end{array}\right|=2\times (-1)-5\times 1=-2-5=-7$。
4. $x_1=\frac{|A_1|}{|A|}=\frac{-14}{-7}=2$，$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-7}{-7}=1$。

所以方程组的解为 $x_1=2,x_2=1$。

4. 注意事项

• 局限性：克拉默法则只适用于 $n$ 个方程、$n$ 个未知量且系数行列式不为零的情况。对于一般线性方程组（方程个数不等于未知量个数，或系数行列式为零），需要使用 高斯消元法 或 矩阵的秩 来判断解的情况。
• 计算量大：对于 $n$ 较大的方程组，需要计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式，计算量巨大，实际应用中较少使用。
• 理论意义：克拉默法则给出了解与系数的显式关系，在理论推导中具有重要价值。

5. 与矩阵的秩的联系

• 当 $|A|\ne 0$ 时，$r(A)=n$，即系数矩阵满秩，方程组有唯一解。
• 当 $|A|=0$ 时，$r(A)<n$，此时方程组可能无解或有无穷多解，需要进一步讨论。 好的，根据你提供的笔记框架，我来补充“二、线性方程组的解法”的完整内容。

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二、线性方程组的解法

1. 系数矩阵的秩

系数矩阵 $A$ 是由方程组中未知量的系数组成的矩阵。

系数矩阵的秩 $r(A)$ 是系数矩阵 $A$ 经过初等行变换化为行阶梯形矩阵后，非零行的行数（即矩阵中最高阶非零子式的阶数）。

作用：判断方程组解的情况：

• 与增广矩阵的秩 $r(\bar{A})$ 比较，判断是否有解。
• 当有解时，$r(A)=n$（$n$ 为未知量个数）则唯一解；$r(A)<n$ 则无穷多解，自由变量个数为 $n-r(A)$。

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2. 增广矩阵的秩

增广矩阵 $\bar{A}=(A\mid b)$ 是在系数矩阵 $A$ 的右边加上常数项列向量 $b$ 得到的矩阵。

增广矩阵的秩 $r(\bar{A})$ 就是该矩阵的秩。

作用：与系数矩阵的秩比较，判断方程组是否相容（有解）。

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3. 两者关系总结

对于 $n$ 元线性方程组 $Ax=b$：

条件	解的情况
$r(A)<r(\bar{A})$	无解
$r(A)=r(\bar{A})=n$	唯一解
$r(A)=r(\bar{A})<n$	无穷多解

核心：系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等，决定了方程组是否有解。

1. 高斯消元法（最常用）

基本思想

通过初等行变换，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，然后回代求解。

步骤

1. 写出增广矩阵 $\bar{A}=(A\mid b)$。
2. 对增广矩阵进行初等行变换，化为 行阶梯形矩阵。
3. 根据行阶梯形矩阵判断解的情况：
   • 若出现形如 $0=d$（$d\ne 0$）的矛盾行，则方程组 无解。
   • 否则，方程组有解，继续化为 行最简形矩阵。
4. 写出对应的线性方程组，回代求解。

示例

解方程组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+x_3=1\\ 2x_1+4x_2+3x_3=3\\ x_1+2x_2+2x_3=2\end{array}$$

解：

1. 增广矩阵：

   $$\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 2& 4& 3& 3\\ 1& 2& 2& 2\end{array}\right)$$

2. 初等行变换：

   $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

3. 化为行最简形矩阵：

   $$\stackrel{r_1-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

4. 写出方程组：

   $$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=0\\ x_3=1\end{array}$$

5. 解为：

   $$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2x_2\\ x_2=x_2(\text{自由变量})\\ x_3=1\end{array}$$

   通解为：

   $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),k\in \mathbb{R}$$

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2. 解的结构

齐次线性方程组 $Ax=0$

• 必有解：至少有一个零解 $x=0$。
• 解的情况：
  • $r(A)=n$：只有零解。
  • $r(A)<n$：有非零解，且基础解系中含有 $n-r(A)$ 个线性无关的解向量。
• 通解形式：$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$，其中 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 是基础解系。

非齐次线性方程组 $Ax=b$

• 解的结构：特解 + 齐次通解。
• 步骤：
  1. 先求对应的齐次方程组 $Ax=0$ 的通解。
  2. 再求非齐次方程组的一个特解 $x^{\ast }$。
  3. 非齐次方程组的通解为 $x=x^{\ast }+\text{齐次通解}$。

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3. 解的情况总结

对于 $n$ 元线性方程组 $Ax=b$，设 $r(A)=r$，$r(\bar{A})=\bar{r}$：

条件	解的情况
$r<\bar{r}$	无解
$r=\bar{r}=n$	唯一解
$r=\bar{r}<n$	无穷多解，自由变量个数为 $n-r$

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4. 方法对比

方法	适用条件	优点	缺点
克拉默法则	$n$ 个方程、$n$ 个未知量，$	A	\neq 0$
高斯消元法	任意线性方程组	通用性强，计算量适中	步骤较多，需细心
矩阵求逆法	$n$ 个方程、$n$ 个未知量，$A$ 可逆	形式简洁 $x=A^{-1}b$	求逆矩阵计算量大

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5. 补充：增广矩阵的秩与解的关系

• 增广矩阵 $\bar{A}=(A\mid b)$ 的秩反映了方程组是否有解。
• 当 $r(A)=r(\bar{A})$ 时，方程组 相容（有解）。
• 当 $r(A)<r(\bar{A})$ 时，方程组 不相容（无解）。

三、向量及其线性运算

四、向量(组)间的线性关系

6. 复习连接

• 计算工具：矩阵的初等变换、矩阵的秩。
• 理论结构：线性方程组解的结构。
• 抽象理解：线性空间与线性变换中把 $Ax=b$ 看成“$b$ 是否在 $A$ 的列空间中”。
• 应用理解：线性回归、投入产出模型、经济均衡模型都可以抽象成 $Ax=b$；真正要判断的常常不是“怎么算”，而是“有没有解、是否唯一、自由度有多少”。