行列式

一、二阶与三阶行列式

对角线法则 二阶行列式定义：

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

称为矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

的行列式，也记作 $\det A$ 或 $|A|$。

二、排列与逆序

• 自然数1，2，……，n组成的一个有序数组称为一个n级排列
• 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数逆序
  • 逆序数为奇/偶称为奇/偶排列

三、n阶行列式的定义

• 规律
  • 三阶行列式是3！项的代数和
  • **符号规则：
    • 如果逆序数  t  是偶数，该项带正号  + 。
    • 如果逆序数  t  是奇数，该项带负号  -  。
    • 不按任何顺序选时逆序数可为列标＋行标逆序数之和即可抵消随意选的影响
  • $D={\sum }_{p_1{p}_2\dots p_n}(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\dots a_{n{p}_n}$
    • 当n=1时，一阶行列式|a|=a,此处|a|不是a的绝对值，是行列式
    • t是逆序排列的奇偶
  • 上三角、下三角或对角矩阵的行列式，等于其主对角线上所有元素的乘积。$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$ 应用：这是计算高阶行列式最常用的方法——通过初等变换将行列式化为上三角形式

四、行列式按行（列）展开

• 余子式$A_{ij}$的定义：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

  • 余子式$(M_{ij})$：在行列式中，划去元素 $a_{ij}$所在的第 i 行和第 j 列后，剩下的 n-1 阶行列式。
  • 符号：$(-1{)}^{i+j}$决定了正负号。即位置 (i, j) 的“棋盘符号”（如 (1,1) 为正，(1,2) 为负）。

• 用列进行求和也一致

• 若行列式某行或某列的元素全为零，则该行列式值为零

五、行列式的性质

• 转置不变性$D=D^T$表明行和列的地位一致
  • 不同的某两行（列）交换行列式的值变为负数
  • ==若行列式有两行（列）相同，则该行列式值为零
  • 如果用数k乘矩阵某一行或某一列，则得到的矩阵的行列式等于原来的k倍
  • 若n阶矩阵A有两行（或两列）的对应元素成比例，则detA=0
  • 若n阶矩阵A有一行（或列）元素全为零，则detA=0
  • 如果行列式的某一行（或某一列）的每一个均表为两个数的和，则该行列式可按照该行（列）拆成两个行列式的和
  • 行列式的某一行（列)乘k再加到另一行（列）上，行列式值不变
    • 拆分后其中一个行列式存在两行（列)对应成比例

与代数余子式相关的常用结论：

设 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$，则

1. 第 $i$ 行元素与第 $k$ 行对应代数余子式的乘积之和等于零（$k\ne i$）： $$a_{i1}{A}_{k1}+a_{i2}{A}_{k2}+\cdots +a_{in}{A}_{kn}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=0(k\ne i)$$
2. 第 $j$ 列元素与第 $l$ 列对应代数余子式的乘积之和等于零（$l\ne j$）。

六、矩阵的分块

1、分块方式

• 按行分块
• 按列分块
• 分块对角矩阵（又称准对角矩阵）
  • 分块之后的矩阵可把矩阵小块当做新矩阵的元
• 分块矩阵转置的时候，子块也要同时转置

2、逆矩阵的定义

• 可逆的定义
  • 对于数域F上的矩阵A，如果存在数域F上的矩阵B使得$AB=BA=E$
  • 则称矩阵A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵记作$A^{-1}=B$
    • 可逆矩阵一定是方阵
  • 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且(λA)^{-1}=\frac{1}{λ}A^{-1}$$$$|λA|=λ^n|A|≠0
  • 若A可逆，则A^T也可逆且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
  • $(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$
  • $（A^{\ast }{B}^{\ast }{）}^{-1}=B^{\ast }{A}^{\ast }$

3、伴随矩阵的定义

矩阵的元替换为对应点代数余子式作为子块元 设 A 是一个 n 阶方阵，其伴随矩阵（记为 $A^{\ast }$或 $\text{adj}(A)）$定义如下：

代数余子式：首先计算 A 中每个元素 a_{ij} 对应的代数余子式 A_{ij}。

转置：将这些代数余子式构成一个矩阵，并进行转置。

若 A = [a_{ij}]，则伴随矩阵为：

$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$ 注意：伴随矩阵的第 i 行第 j 列元素，是原矩阵第 j 行第 i 列元素的代数余子式（即下标是反的）。 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

核心性质

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I$ 其中 |A| 是矩阵 A 的行列式，I 是单位矩阵。 伴随矩阵的常用性质：

1. $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }$（当 $A$ 可逆时）；
2. $(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$；
3. $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$；
4. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$；
5. $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$。

4、逆矩阵求法

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$ $A^{-1}A=E$