向量的长度

向量的长度

零、前置知识：内积的定义（回顾）

设 $\alpha =(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$，$\beta =(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T\in {\mathbb{R}}^n$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积（点积）定义为：

$$\alpha \cdot \beta =a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n.$$

内积具有以下性质（卢刚教材 §4.1）：

• 对称性：$\alpha \cdot \beta =\beta \cdot \alpha$；
• 线性性：$(\alpha +\beta )\cdot \gamma =\alpha \cdot \gamma +\beta \cdot \gamma$，$(k\alpha )\cdot \beta =k(\alpha \cdot \beta )$；
• 正定性：$\alpha \cdot \alpha \ge 0$，且 $\alpha \cdot \alpha =0⟺\alpha =0$。

一、长度的定义

设 $\alpha =(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T\in {\mathbb{R}}^n$，则 $\alpha$ 的长度（或模、范数）定义为内积的平方根：

$$\Vert \alpha \Vert =\sqrt{\alpha \cdot \alpha }=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}.$$

• 当 $\Vert \alpha \Vert =1$ 时，称 $\alpha$ 为单位向量。
• 当 $\alpha =0$ 时，$\Vert \alpha \Vert =0$；反之，若 $\Vert \alpha \Vert =0$，则 $\alpha =0$（由内积正定性保证）。

几何意义：在 ${\mathbb{R}}^2$ 或 ${\mathbb{R}}^3$ 中，$\Vert \alpha \Vert$ 表示从原点指向点 $\alpha$ 的向量的长度（即两点间的距离）。在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，它是欧几里得距离的推广。

---

二、长度的基本性质

由内积性质可直接推出：

1. 非负性：$\Vert \alpha \Vert \ge 0$，且 $\Vert \alpha \Vert =0⟺\alpha =0$。
2. 齐次性：$\Vert k\alpha \Vert =|k|\Vert \alpha \Vert$，对任意实数 $k$ 成立。
3. 三角不等式：$\Vert \alpha +\beta \Vert \le \Vert \alpha \Vert +\Vert \beta \Vert$。
4. 勾股定理（正交分解）：若 $\alpha \perp \beta$（即 $\alpha \cdot \beta =0$），则 $$\Vert \alpha +\beta {\Vert }^2=\Vert \alpha {\Vert }^2+\Vert \beta {\Vert }^2.$$

---

三、Cauchy–Schwarz 不等式

定理（Cauchy–Schwarz 不等式）：对任意 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$，有

$$|\alpha \cdot \beta |\le \Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert .$$

等号成立当且仅当 $\alpha$ 与 $\beta$ 线性相关（即存在实数 $k$ 使 $\alpha =k\beta$ 或 $\beta =k\alpha$）。

证明思路：考虑二次函数 $f(t)=\Vert \alpha -t\beta {\Vert }^2\ge 0$，利用判别式非正即得。 推论：将不等式两边平方，得到 $(\alpha \cdot \beta {)}^2\le \Vert \alpha {\Vert }^2\Vert \beta {\Vert }^2$。

---

四、向量夹角与正交

1. 夹角的定义

对于两个非零向量 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$，由 Cauchy–Schwarz 不等式可知：

$$-1\le \frac{\alpha \cdot \beta }{\Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert }\le 1.$$

因此可以唯一确定一个角 $\theta$（$0\le \theta \le \pi$），使得：

$$\cos \theta =\frac{\alpha \cdot \beta }{\Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert }.$$

这个 $\theta$ 称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角。

特殊情况：

• 当 $\theta =0$ 时，$\cos \theta =1$，$\alpha$ 与 $\beta$ 同向；
• 当 $\theta =\pi$ 时，$\cos \theta =-1$，$\alpha$ 与 $\beta$ 反向；
• 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos \theta =0$，即 $\alpha \cdot \beta =0$，称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交（垂直），记作 $\alpha \perp \beta$。

2. 正交的定义与性质

定义：若 $\alpha \cdot \beta =0$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交。

• 零向量与任何向量正交（因为 $0\cdot \beta =0$）。
• 若 $\alpha \perp \beta$，则勾股定理成立：$\Vert \alpha +\beta {\Vert }^2=\Vert \alpha {\Vert }^2+\Vert \beta {\Vert }^2$。
• 非零向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交 $⟺$ 二者夹角 $\theta =\frac{\pi }{2}$。

---

五、单位向量与单位化

定义：长度为 $1$ 的向量称为单位向量。

单位化：对任意非零向量 $\alpha \ne 0$，将其化为同方向的单位向量的过程称为单位化，即：

$$\frac{\alpha }{\Vert \alpha \Vert }.$$

性质：单位化后的向量仍与 $\alpha$ 同向，且长度为 $1$。

推论：任意一个非零向量 $\alpha$ 都可表示为：

$$\alpha =\Vert \alpha \Vert \cdot \frac{\alpha }{\Vert \alpha \Vert },$$

即模长乘以单位方向向量。

---

六、距离概念（补充）

设 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$，定义两点之间的距离为：

$$d(\alpha ,\beta )=\Vert \alpha -\beta \Vert =\sqrt{(a_1-b_1{)}^2+\cdots +(a_n-b_n{)}^2}.$$

由三角不等式可得：

• $d(\alpha ,\beta )\le d(\alpha ,\gamma )+d(\gamma ,\beta )$（三角不等式）；
• $d(\alpha ,\beta )=d(\beta ,\alpha )$（对称性）；
• $d(\alpha ,\beta )\ge 0$，且 $d(\alpha ,\beta )=0⟺\alpha =\beta$。

---

七、与后续内容的联系

• 向量的长度与正交性是建立标准正交基（R的n次方的标准正交基）的基础——标准正交基要求基向量正交且长度均为1。
• 单位化是 Gram–Schmidt 正交化过程的第二步。
• 夹角公式 $\cos \theta =(\alpha \cdot \beta )/(\Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert )$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中几何直观的核心工具。

记忆要点

• 长度由内积定义，满足非负、齐次、三角不等式。
• Cauchy–Schwarz 不等式是理论核心，连接内积与长度。
• 单位化是将非零向量变为同向单位向量的标准操作。
• 夹角与正交概念由内积与长度导出，是后续标准正交基的基石。